最长上升子序列

　　给你n个整数 A₁A₂ ········· A_n 找出在这个数组里面的最长上升的子序列。例如给你（1,7,3,5,9,4,8），他的上升子序列有（1,7）（3,4,8）等等之类的，但是最长的上升子序列是（1,3,5,8）。

1）n^2算法

　　dp[i] 为当前数组里第i个元素时，以a[i]元素为结尾的最长子序列长度。

　　动态转移方程是:dp[i] = max ( dp[i] , dp[j] + 1 ) 其中 j<i 且 a[j] < a[i] 。

1 #include 
      
        2 #include 
       
         3 #include 
        
          4 #include 
         
           5 #include 
          
            6 #include 
           
             7 #include 
             8 #include 
             
               9 #include 
              
               10 #include 
               
                11 #include 
                
                 12 using namespace std;13 #define pb push_back14 #define mp make_pair15 #define ms(a, b) memset((a), (b), sizeof(a))16 //#define LOCAL17 typedef long long LL;18 const int inf = 0x3f3f3f3f;19 const int maxn = 1000+10;20 const LL mod = 1000000000+7;21 int a[maxn];22 int dp[maxn];23 int main()24 {25 #ifdef LOCAL26 freopen("input.txt" , "r", stdin);27 #endif // LOCAL28 int n;29 scanf("%d", &n);30 for(int i=0;i
                 
                   dp[i])38 dp[i] = dp[j] + 1;39 }40 }41 int ans = 0;42 for(int i=0;i

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2）nlogn算法

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n

下面一步一步试着找出它。

我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。

此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

1 #include 
      
        2 #include 
       
         3 #include 
        
          4 #include 
         
           5 #include 
          
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             8 #include 
             
               9 #include 
              
               10 #include 
               
                11 #include 
                
                 12 using namespace std;13 #define pb push_back14 #define mp make_pair15 #define ms(a, b) memset((a), (b), sizeof(a))16 //#define LOCAL17 typedef long long LL;18 const int inf = 0x3f3f3f3f;19 const int maxn = 50000+10;20 const LL mod = 1000000000+7;21 int a[maxn];22 int dp[maxn];23 int Binary_search(int key, int len)24 {25 int l=1, r=len+1;26 while(l
                 
                  > 1;29 if(key>=dp[middle])30 l = middle +1;31 else32 r = middle;33 }34 return l;35 }36 int main()37 {38 #ifdef LOCAL39 freopen("input.txt" , "r", stdin);40 #endif // LOCAL41 int n, len;42 scanf("%d", &n);43 for(int i=0;i
                  
                    dp[len])49 dp[++len] = a[i];50 else{51 int j = Binary_search(a[i], len);52 dp[j] = a[i];53 }54 }55 printf("%d\n", len);56 return 0;57 }

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附上一些练习题：

1）

2）

3）

4）（最长不上升子序列）

5）（最长不上升子序列）

这些题的题解稍后放出。

转载于:https://www.cnblogs.com/denghaiquan/p/6679952.html

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